Kalkulator macierzy

Macierz A (m×n) × Macierz B (n×p) = Macierz C (m×p). Element c[i][j] = suma a[i][k] × b[k][j] dla k=1..n. Wymaganie: liczba kolumn A = liczba wierszy B. Mnożenie macierzy NIE jest przemienne (AB ≠ BA generalnie). Przykład: 2×2 × 2×2 = 2×2.

Wyznacznik (det) macierzy kwadratowej — skalar. 2×2: det = a·d - b·c. 3×3: rozwinięcie Laplace'a lub reguła Sarrusa. Macierz osobliwa: det=0 (brak odwrotności). Geometrycznie: |det| = pole parallelogramu (2D) lub objętość równoległościanu (3D).

Macierz odwrotna A⁻¹ spełnia: A × A⁻¹ = I (macierz jednostkowa). Istnieje tylko gdy det(A) ≠ 0. Dla 2×2: A⁻¹ = (1/det) × [[d,-b],[-c,a]]. Stosowana do rozwiązywania układów równań liniowych: Ax=b → x=A⁻¹b.

Transpozycja A^T: zamiana wierszy z kolumnami. Element a^T[i][j] = a[j][i]. Macierz symetryczna: A = A^T. Właściwości: (AB)^T = B^T · A^T, (A^T)^T = A. Stosowane w statystyce (regresja liniowa), fizyce i przetwarzaniu sygnałów.