Вчи англійську з випускницею Кембриджа, набір відкрито — @makesense.school ∫ Калькулятор інтегралів
Чисельне обчислення визначеного інтегралу
Підтримуються: x, sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), log(x), sqrt(x), abs(x), x^n, PI, E
∫ f(x)dx =
Часті запитання
Визначений інтеграл ∫ₐᵇ f(x)dx — площа під кривою f(x) від a до b (з урахуванням знаку). Якщо f(x) > 0 на [a,b] — площа додатна. Якщо f(x) < 0 — від'ємна.
Метод Сімпсона наближує криву параболами. Формула: ∫ₐᵇ f(x)dx ≈ (h/3)[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + ... + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)], де h=(b-a)/n. Точніший за метод трапецій.
Площа між f(x) і g(x) від a до b = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Якщо f(x) > g(x) на всьому відрізку: S = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx.
Точність залежить від кількості інтервалів n. Метод Сімпсона: похибка O(h⁴), де h = (b-a)/n. При n = 100 для більшості функцій точність 6–8 знаків після коми.
Як порахувати визначений інтеграл онлайн
Калькулятор інтегралів обчислює визначений інтеграл функції f(x) на відрізку від a до b чисельними методами: методом Сімпсона або методом трапецій. Результат показує площу під графіком з урахуванням знака.
Як вводити функцію
- Змінна: x; степінь: x^2; множення обов’язково зірочкою: 3*x.
- Функції: sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), log(x) (натуральний логарифм), sqrt(x), abs(x).
- Константи: PI і E. Кути в тригонометричних функціях задаються в радіанах.
Приклади
| Інтеграл | Точне значення |
|---|---|
| ∫ x^2 від 0 до 1 | 1/3 ≈ 0,3333 |
| ∫ sin(x) від 0 до PI | 2 |
| ∫ exp(x) від 0 до 1 | e − 1 ≈ 1,7183 |
| ∫ 1/x від 1 до E | 1 |
| ∫ sqrt(x) від 0 до 4 | 16/3 ≈ 5,3333 |
Метод Сімпсона і метод трапецій
Обидва методи ділять відрізок [a, b] на n рівних частин завдовжки h = (b − a) ÷ n.
- Метод трапецій з’єднує сусідні точки графіка прямими. Похибка зменшується пропорційно h², тому для точності потрібно багато кроків.
- Метод Сімпсона наближає графік параболами з вагами 1, 4, 2, 4, …, 4, 1. Похибка зменшується пропорційно h⁴, і вже при n = 100 результат для гладких функцій точний до 6–8 знаків. Кількість кроків має бути парною.
Коли результат може бути неточним
- Функція має розрив або прямує до нескінченності на відрізку, наприклад 1/x на [−1, 1].
- Функція дуже швидко коливається; збільште кількість кроків.
- Межі нескінченні: чисельні методи потребують скінченного відрізка.
Калькулятор не шукає первісну в загальному вигляді, а дає числове значення. Похідну функції знайде калькулятор похідних, а складні вирази обчислить інженерний калькулятор.