Вчи англійську з випускницею Кембриджа, набір відкрито — @makesense.school Калькулятор степенів
Степені та корені чисел
Часті запитання
Степінь aⁿ означає множення числа a на себе n разів: 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32. Від'ємний показник: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Дробовий показник: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ).
Будь-яке ненульове число у степені 0 = 1: 5⁰ = 1, 100⁰ = 1. Виняток: 0⁰ невизначене (залежить від контексту). Степінь 1 завжди рівна самому числу: a¹ = a.
Метод наближення: √x ≈ (a + x/a)/2, де a — початкове наближення. Ітерація кілька разів дає точний результат. Наприклад, √2: старт a=1.5; (1.5+2/1.5)/2=1.4167; (1.4167+2/1.4167)/2=1.4142 ≈ √2.
Число e ≈ 2.71828 — основа натурального логарифму. e = lim(1+1/n)^n при n→∞. Натуральний логарифм ln(x) — зворотна функція до eˣ: якщо eˣ = y, то ln(y) = x. Широко застосовується у природничих науках.
Для непарних степенів (3, 5, 7...) — так: ∛-8 = -2, оскільки (-2)³ = -8. Для парних степенів (2, 4, 6...) корінь з від'ємного числа не визначений у дійсних числах — наприклад, √-4 не має дійсного розв'язку, лише уявний (комплексне число 2i).
Степені та корені онлайн
Калькулятор степенів підносить будь-яке число до цілого, дробового чи від'ємного степеня, добуває корені будь-якого порядку і будує таблицю степенів. Дуже великі й дуже малі результати показуються у стандартному вигляді, наприклад 1,267651e+30.
Основні правила
| Правило | Приклад |
|---|---|
| aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ | 5⁶ / 5⁴ = 25 |
| (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| a⁰ = 1 | 7⁰ = 1 |
| a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 0,125 |
| a^(1/n) = ⁿ√a | 64^(1/3) = 4 |
Корені з від'ємних чисел
Корінь непарного степеня з від'ємного числа існує: ∛(−27) = −3. Корінь парного степеня, наприклад √(−4), у дійсних числах не визначений, і калькулятор про це повідомить.
Корисні степені
- 2¹⁰ = 1 024, тому кілобайт у двійковій системі це 1 024 байти.
- 10⁶ = мільйон, 10⁹ = мільярд, 10¹² = трильйон.
- Квадрати до 20 (11² = 121 … 20² = 400) варто пам'ятати для НМТ.
Типові помилки
- −2² = −4, бо спочатку підноситься до степеня, а мінус діє після. А (−2)² = 4.
- (a + b)² ≠ a² + b²: правильно a² + 2ab + b².
- 0⁰ у шкільній математиці вважається невизначеним виразом, хоча калькулятори зазвичай повертають 1.
Для обернених операцій є калькулятор логарифмів. Числа в стандартному вигляді зручно перетворювати в калькуляторі наукового запису, а складні вирази рахує інженерний калькулятор.