Вчи англійську з випускницею Кембриджа, набір відкрито — @makesense.school f'(x) Калькулятор похідних
Числова похідна функції в точці
Підтримуються: x, sin(x), cos(x), tan(x), exp(x), log(x), sqrt(x), abs(x), x^n, PI, E
f'(x₀) =
Часті запитання
Похідна f'(x) — миттєва швидкість зміни функції f(x) у точці x. Геометрично — кут нахилу дотичної до графіка. f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h.
(xⁿ)' = n×xⁿ⁻¹; (eˣ)' = eˣ; (ln x)' = 1/x; (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x; (tan x)' = 1/cos²x; (aˣ)' = aˣ × ln a; (arcsin x)' = 1/√(1−x²).
f'(x) > 0 — функція зростає на цьому відрізку. f'(x) < 0 — спадає. f'(x) = 0 — стаціонарна точка (можливий екстремум). Друга похідна f''(x) > 0 — мінімум, f''(x) < 0 — максимум.
Правило ланцюга: (f(g(x)))' = f'(g(x)) × g'(x). Наприклад, (sin(x²))' = cos(x²) × 2x. Похідна добутку: (f×g)' = f'×g + f×g'. Похідна частки: (f/g)' = (f'×g − f×g')/g².
Як знайти похідну функції в точці
Калькулятор обчислює значення першої або другої похідної функції f(x) у заданій точці x₀ чисельним методом і підказує, чи є точка критичною (похідна дорівнює нулю).
Як рахує калькулятор
- Перша похідна за центральною різницею: f′(x₀) ≈ (f(x₀ + h) − f(x₀ − h)) ÷ 2h.
- Друга похідна: f″(x₀) ≈ (f(x₀ + h) − 2f(x₀) + f(x₀ − h)) ÷ h².
Крок h дуже малий, тому для гладких функцій результат збігається з точним значенням до 6–8 знаків.
Таблиця основних похідних
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
| √x | 1/(2√x) |
Приклади
- f(x) = x^2 у точці 3: f′(3) = 2 × 3 = 6.
- f(x) = sin(x) у точці 0: f′(0) = cos 0 = 1.
- f(x) = exp(x) у точці 1: f′(1) = e ≈ 2,7183.
- Друга похідна x^3 у точці 2: f″(2) = 6 × 2 = 12.
Що означає результат
- f′(x₀) > 0: функція зростає в точці; f′(x₀) < 0: спадає.
- f′(x₀) = 0: критична точка, можливий максимум або мінімум.
- f″(x₀) > 0 у критичній точці означає мінімум, f″(x₀) < 0 максимум.
- Значення похідної дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка в точці.
Як вводити функцію
Степінь пишіть через ^ (x^2), множення зірочкою (3*x), функції як sin(x), cos(x), exp(x), log(x) для натурального логарифма, sqrt(x). Кути в радіанах.
Визначений інтеграл обчислить калькулятор інтегралів, а корені рівнянь калькулятор рівнянь.