Вчи англійську з випускницею Кембриджа, набір відкрито — @makesense.school

Калькулятор рівнянь

Q: Як розв'язати систему двох лінійних рівнянь?

Методи: підстановка (виразити одну змінну), додавання (скласти рівняння), матричний (метод Крамера). Система a₁x + b₁y = c₁; a₂x + b₂y = c₂. Визначник: D = a₁b₂ − a₂b₁. x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D, y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D.

Q: Що таке дискримінант і що він показує?

Дискримінант D = b² − 4ac визначає кількість дійсних коренів квадратного рівняння: D > 0 — два різні корені, D = 0 — один корінь (кратний), D < 0 — дійсних коренів немає (комплексні корені).

Q: Як перевірити розв'язок рівняння?

Підставте знайдене значення назад у рівняння. Якщо ліва частина дорівнює правій — розв'язок правильний. Наприклад, якщо x = 3 є коренем x² − 5x + 6 = 0: 9 − 15 + 6 = 0 ✓.

Q: Що робити, якщо дискримінант квадратного рівняння від'ємний?

Якщо D < 0, дійсних коренів немає, але є два комплексні корені: x₁,₂ = (−b/2a) ± (√|D|/2a)·i. Калькулятор показує обидва комплексні корені у форматі a ± bi.

Q: Як розв'язати біквадратне рівняння ax⁴+bx²+c=0?

Заміна t = x² зводить рівняння до звичайного квадратного: at² + bt + c = 0. Знаходимо t₁, t₂ за дискримінантом, а потім x = ±√t для кожного невід'ємного t (від'ємні t не дають дійсних x).

Q: Як розв'язати рівняння, де x є в обох частинах (ax+b=cx+d)?

Перенесіть усі члени з x в один бік, а числа — в інший: (a−c)x = d−b, звідки x = (d−b)/(a−c). Якщо a=c і b=d — рівняння має безліч розв'язків, якщо a=c і b≠d — розв'язків немає.

Лінійні, квадратні рівняння та системи

ax + b = cx + d

Часті запитання

Як розв'язати квадратне рівняння?

Квадратне рівняння ax² + bx + c = 0. Дискримінант D = b² − 4ac. Якщо D > 0 — два корені: x = (−b ± √D) / 2a. Якщо D = 0 — один корінь: x = −b / 2a. Якщо D < 0 — дійсних коренів немає.

Як розв'язати систему двох лінійних рівнянь?

Методи: підстановка (виразити одну змінну), додавання (скласти рівняння), матричний (метод Крамера). Система a₁x + b₁y = c₁; a₂x + b₂y = c₂. Визначник: D = a₁b₂ − a₂b₁. x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D, y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D.

Що таке дискримінант і що він показує?

Дискримінант D = b² − 4ac визначає кількість дійсних коренів квадратного рівняння: D > 0 — два різні корені, D = 0 — один корінь (кратний), D < 0 — дійсних коренів немає (комплексні корені).

Як перевірити розв'язок рівняння?

Підставте знайдене значення назад у рівняння. Якщо ліва частина дорівнює правій — розв'язок правильний. Наприклад, якщо x = 3 є коренем x² − 5x + 6 = 0: 9 − 15 + 6 = 0 ✓.

Що робити, якщо дискримінант квадратного рівняння від'ємний?

Якщо D < 0, дійсних коренів немає, але є два комплексні корені: x₁,₂ = (−b/2a) ± (√|D|/2a)·i. Калькулятор показує обидва комплексні корені у форматі a ± bi.

Як розв'язати біквадратне рівняння ax⁴+bx²+c=0?

Заміна t = x² зводить рівняння до звичайного квадратного: at² + bt + c = 0. Знаходимо t₁, t₂ за дискримінантом, а потім x = ±√t для кожного невід'ємного t (від'ємні t не дають дійсних x).

Як розв'язати рівняння, де x є в обох частинах (ax+b=cx+d)?

Перенесіть усі члени з x в один бік, а числа — в інший: (a−c)x = d−b, звідки x = (d−b)/(a−c). Якщо a=c і b=d — рівняння має безліч розв'язків, якщо a=c і b≠d — розв'язків немає.

Як розв’язати рівняння онлайн

Калькулятор рівнянь розв’язує лінійні, квадратні та біквадратні рівняння, а також системи двох лінійних рівнянь і показує хід розв’язку.

Лінійне рівняння ax + b = cx + d

Перенесіть невідомі в один бік, числа в інший: (a − c)x = d − b, звідки x = (d − b) ÷ (a − c). Приклад: 3x + 5 = 20, тож 3x = 15 і x = 5. Якщо a = c, рівняння або не має розв’язків, або має безліч.

Квадратне рівняння ax² + bx + c = 0

Спочатку знаходять дискримінант D = b² − 4ac:

D > 0: два корені x = (−b ± √D) ÷ 2a. Для x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1, x₁ = 3, x₂ = 2.
D = 0: один корінь x = −b ÷ 2a. Для x² − 4x + 4 = 0: x = 2.
D < 0: дійсних коренів немає, калькулятор покаже комплексні. Для x² + 2x + 5 = 0: D = −16, x = −1 ± 2i.

Перевірка за теоремою Вієта: x₁ + x₂ = −b ÷ a і x₁ × x₂ = c ÷ a. Для першого прикладу 3 + 2 = 5 і 3 × 2 = 6.

Біквадратне рівняння ax⁴ + bx² + c = 0

Замінюємо t = x² і розв’язуємо квадратне рівняння. Для x⁴ − 5x² + 4 = 0 маємо t = 1 і t = 4, тож x = ±1 і x = ±2. Від’ємні значення t коренів не дають.

Система двох лінійних рівнянь

Калькулятор використовує метод Крамера. Для системи 2x + y = 7 і x − y = 2 визначник D = 2 × (−1) − 1 × 1 = −3, а розв’язок x = 3, y = 1. Якщо D = 0, система не має єдиного розв’язку.

Поради

Перед уведенням зведіть рівняння до стандартного вигляду: усе в лівій частині, справа 0.
Якщо коефіцієнта немає, вводьте 0: для x² − 9 = 0 це a = 1, b = 0, c = −9.
Дроби вводьте десятковими: 1/2 як 0,5.

Для нерівностей є калькулятор нерівностей, для похідних калькулятор похідних, а для складних обчислень інженерний калькулятор.