Калькулятор диференціальних рівнянь
1-й та 2-й порядки з постійними коефіцієнтами
y' + a·y = b
Початкова умова (необов'язково)
Часті запитання
Диференціальне рівняння — рівняння, що містить невідому функцію та її похідні. Порядок рівняння визначається найвищим порядком похідної. Наприклад, y' = ky — рівняння 1-го порядку, y'' + py' + qy = 0 — 2-го порядку.
Загальний розв'язок: y = b/a + Ce^(−ax), де C — довільна стала. Якщо задано початкову умову y(0) = y₀, то C = y₀ − b/a. Однорідне рівняння (b=0): y = Ce^(−ax).
Складається характеристичне рівняння ar² + br + c = 0. Якщо D > 0 — два дійсних корені r₁, r₂: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x). Якщо D = 0 — один корінь r: y = (C₁ + C₂x)e^(rx). Якщо D < 0 — комплексні корені α±βi: y = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx)).
Задача Коші — це диференціальне рівняння з початковими умовами: значення функції (і похідних для вищих порядків) задані в певній точці. Наприклад, y' = ky, y(0) = 1 → y = e^(kx).
Розв'язання диференціальних рівнянь
Лінійне ДР 1-го порядку y' + ay = b: загальний розв'язок y = b/a + Ce^(−ax). З початковою умовою y(x₀) = y₀ знаходимо C. Для однорідного (b=0): y = Ce^(−ax). ДР 2-го порядку ay'' + by' + cy = 0 зводиться до характеристичного рівняння ar² + br + c = 0.