∞ Калькулятор границь
Числові границі функцій онлайн
Числовий метод: функція обчислюється для x дуже близьких до точки. Підтримуються:
sin, cos, tan, sqrt, abs, log, exp, PI, E, оператори + − * / ^ ** Введіть число або "inf"/"-inf"
Стандартні границі
lim(x→0) sin(x)/x = 1
lim(x→∞) (1+1/x)^x = e ≈ 2.71828
lim(x→0) (eˣ−1)/x = 1
lim(x→0) ln(1+x)/x = 1
lim(x→0) (1−cos(x))/x² = 1/2
Часті запитання
Границя функції f(x) при x→a — це значення, до якого наближається f(x), коли x наближається до a. Записується lim(x→a) f(x) = L. Границя існує якщо ліва і права одностороні границі рівні між собою.
Перша чудова границя: lim(x→0) sin(x)/x = 1. Друга чудова границя: lim(x→∞) (1+1/x)^x = e ≈ 2.71828. Також: lim(x→0) (e^x−1)/x = 1, lim(x→0) ln(1+x)/x = 1, lim(x→∞) x^n/e^x = 0.
Методи розкриття невизначеності 0/0: 1) Скорочення дробу (множники). 2) Правило Лопіталя: якщо lim f(x)/g(x) = 0/0 або ∞/∞, то lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x). 3) Еквівалентні нескінченно малі: sin(x)~x, tan(x)~x, ln(1+x)~x при x→0.
Ліва границя lim(x→a⁻) f(x) — наближення до a зліва (x < a). Права границя lim(x→a⁺) f(x) — наближення справа (x > a). Двостороння границя існує тоді і тільки тоді, коли ліва = права.
Обчислення границь функцій
Числовий метод обчислення границь: функція обчислюється для x = a ± ε де ε → 0 (дуже малі значення). Якщо значення збігаються з обох боків — це і є границя. Для аналітичного обчислення використовують правило Лопіталя, еквівалентні нескінченно малі та алгебраїчні перетворення.