Calculadora para factorizar polinomios

Factor común, identidades notables, Ruffini y división de polinomios

Polinomio P(x)

Usa ^ para los exponentes (x^3) o escribe solo los coeficientes de mayor a menor grado: «1 -6 11 -6». Admite fracciones (1/2x^2) y decimales.

Factorización

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Raíces:–

Preguntas frecuentes

¿Cómo se factoriza un polinomio por Ruffini? ▼

Se buscan las raíces entre los divisores del término independiente (y, si el coeficiente principal no es 1, entre las fracciones p/q con p divisor del término independiente y q divisor del coeficiente principal). Cada valor a que da resto 0 en la tabla de Ruffini es una raíz, y el polinomio se descompone como (x − a) por el cociente. Se repite con el cociente hasta llegar a grado 2 o a un factor sin raíces.

¿Qué hago primero al factorizar un polinomio? ▼

Siempre sacar factor común, si lo hay: un número que divida a todos los coeficientes y la potencia de x más baja. Después se revisan las identidades notables y, si no sirven, se aplica Ruffini o la fórmula de la ecuación de segundo grado.

¿Qué pasa si un polinomio no tiene raíces enteras? ▼

Puede tener raíces fraccionarias (la calculadora también las busca), raíces irracionales como 1 + √2, que aparecen al resolver el factor de grado 2, o no tener raíces reales, como x² + 1. En este último caso el factor es irreducible en los números reales.

¿Qué dice el teorema del resto? ▼

El resto de dividir un polinomio P(x) entre (x − a) es igual a P(a). Por eso a es raíz de P(x) exactamente cuando la división por Ruffini entre (x − a) da resto 0.

¿Cómo se dividen dos polinomios? ▼

Si el divisor es de la forma x − a se usa Ruffini. Si no, se hace la división larga: se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, se multiplica el resultado por todo el divisor, se resta y se repite hasta que el resto tenga menor grado que el divisor.

Cómo factorizar un polinomio

Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios de grado más pequeño, igual que factorizamos 60 = 2² · 3 · 5. Por ejemplo, x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3). Para hacerlo se siguen siempre estos pasos, en este orden:

Sacar factor común. Si todos los términos tienen una x o un número en común, se saca fuera: 2x³ − 8x = 2x(x² − 4).
Buscar identidades notables. Diferencia de cuadrados a² − b² = (a + b)(a − b), cuadrado de una suma a² + 2ab + b² = (a + b)² y cuadrado de una diferencia a² − 2ab + b² = (a − b)².
Aplicar la regla de Ruffini para encontrar raíces enteras o fraccionarias en polinomios de grado 3 o más.
Resolver la ecuación de segundo grado cuando queda un factor de grado 2: si sus raíces son r₁ y r₂, el factor es a(x − r₁)(x − r₂).

La regla de Ruffini paso a paso

Ruffini es una forma abreviada de dividir un polinomio entre (x − a). Se escriben los coeficientes ordenados de mayor a menor grado, sin olvidar los ceros de los términos que faltan, y el valor a a la izquierda. Se baja el primer coeficiente, se multiplica por a, se suma al siguiente coeficiente, y así hasta el final. El último número es el resto.

Ejemplo con P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 y a = 1:

	1	−6	11	−6
1		1	−5	6
	1	−5	6	0

El resto es 0, así que x = 1 es raíz y P(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6). El cociente de grado 2 se factoriza resolviendo x² − 5x + 6 = 0, que da x = 2 y x = 3. Resultado: (x − 1)(x − 2)(x − 3).

¿Qué números hay que probar?

Si el polinomio tiene coeficientes enteros, sus raíces enteras son siempre divisores del término independiente. En x³ − 6x² + 11x − 6 los candidatos son ±1, ±2, ±3 y ±6. Si el coeficiente principal no es 1, también puede haber raíces fraccionarias p/q, donde p divide al término independiente y q al coeficiente principal. Por ejemplo, en 2x² + x − 1 la raíz x = 1/2 da el factor (2x − 1). Esta calculadora prueba todos los candidatos, enteros y fraccionarios, y muestra la tabla de Ruffini de cada raíz encontrada, incluidas las raíces dobles o triples.

Ejemplo completo

Factorizamos P(x) = 2x⁴ − 2x³ − 14x² + 2x + 12, que es el ejemplo que viene en la calculadora.

Factor común: todos los coeficientes son pares, así que P(x) = 2(x⁴ − x³ − 7x² + x + 6).
Candidatos: divisores de 6, es decir ±1, ±2, ±3, ±6.
Ruffini con x = 1: resto 0, cociente x³ − 7x − 6.
Ruffini con x = −1: resto 0, cociente x² − x − 6.
Ecuación x² − x − 6 = 0: raíces 3 y −2.

Resultado: P(x) = 2(x − 1)(x + 1)(x + 2)(x − 3). Las raíces del polinomio son 1, −1, −2 y 3.

Polinomios que no se pueden factorizar más

No todos los polinomios se descomponen en factores de grado 1 con números racionales. Un factor como x² + 1 no tiene raíces reales (su discriminante es negativo), así que es irreducible en los reales. Otro como x² − 2 sí tiene raíces reales, x = ±√2, pero son irracionales: en los racionales no se factoriza, en los reales queda (x − √2)(x + √2). La calculadora te indica en qué caso estás y, si quedan factores de grado 3 o más sin raíces racionales, te da también sus raíces reales aproximadas.

División de polinomios

Para dividir polinomios se cumple, igual que con los números, P(x) = Q(x) · C(x) + R(x), donde el grado del resto R es menor que el del divisor Q. Si el divisor es de la forma x − a, la división se hace por Ruffini y, por el teorema del resto, el resto es directamente P(a). Por ejemplo, al dividir x⁴ − 3x² + 2x − 5 entre x − 2 el resto es 2⁴ − 3 · 4 + 4 − 5 = 3.

Si el divisor tiene grado 2 o más, o su coeficiente principal no es 1, se usa la división larga: se divide el término de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor, se multiplica ese resultado por todo el divisor, se resta y se baja el siguiente término. La calculadora muestra cada vuelta de ese proceso y la comprobación final.

Cuando el factor que queda es de segundo grado puedes estudiarlo con detalle en la calculadora de ecuaciones de segundo grado. Si te piden simplificar fracciones algebraicas después de factorizar, la calculadora de fracciones te sirve para repasar el m.c.d. y el m.c.m. con números, y para las cuentas previas tienes la calculadora de operaciones combinadas.