Calculadora de matriz adjunta y rango

Matriz de adjuntos con cada menor y rango por el método de Gauss

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Determinante |A|:–

Preguntas frecuentes

¿Qué es la matriz adjunta? ▼

Es la matriz que se obtiene sustituyendo cada elemento aᵢⱼ por su adjunto Aᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ, donde Mᵢⱼ es el menor complementario: el determinante que queda al tachar la fila i y la columna j. En muchos libros de Bachillerato se escribe Adj(A).

¿Matriz adjunta y matriz de cofactores es lo mismo? ▼

En España se suele llamar matriz adjunta a la matriz de adjuntos, que es lo mismo que la matriz de cofactores. En textos en inglés, en cambio, «adjugate» o adjunta clásica es la traspuesta de la matriz de cofactores. La calculadora muestra las dos para que uses la que pida tu profesor.

¿Cómo se calcula la adjunta de una matriz 2x2? ▼

Para A = [[a, b], [c, d]] la matriz de adjuntos es [[d, −c], [−b, a]]. Su traspuesta, [[d, −b], [−c, a]], es la que se usa en la fórmula de la inversa.

¿Para qué sirve la matriz adjunta? ▼

Sobre todo para calcular la matriz inversa con la fórmula A⁻¹ = (1/|A|) · (Adj A)ᵗ. También permite calcular el determinante desarrollando por una fila: |A| = aᵢ₁Aᵢ₁ + aᵢ₂Aᵢ₂ + … + aᵢₙAᵢₙ.

¿Qué es el rango de una matriz? ▼

Es el número de filas (o de columnas) linealmente independientes. Coincide con el número de filas no nulas que quedan al escalonar la matriz por Gauss, y también con el orden del mayor menor distinto de cero.

¿Cuál es el rango máximo de una matriz? ▼

El menor de sus dos dimensiones. Una matriz 3x4 tiene como mucho rango 3. Una matriz cuadrada n×n tiene rango n si y solo si su determinante es distinto de cero.

Cómo calcular la matriz adjunta

La matriz adjunta de una matriz cuadrada A, que en los libros de Bachillerato de España se escribe Adj(A), es la matriz en la que cada elemento aᵢⱼ se sustituye por su adjunto:

Aᵢⱼ = (−1)^i+j · Mᵢⱼ

donde Mᵢⱼ es el menor complementario, es decir, el determinante de la submatriz que queda al tachar la fila i y la columna j. El factor (−1)^i+j solo cambia el signo: vale +1 cuando i + j es par y −1 cuando es impar. Por eso es cómodo recordar el tablero de signos:

3x3	Columna 1	Columna 2	Columna 3
Fila 1	+	−	+
Fila 2	−	+	−
Fila 3	+	−	+

Adjunta de una matriz 2x2

Para A = [[a, b], [c, d]], al tachar una fila y una columna queda un solo número, así que los menores son inmediatos. La matriz de adjuntos es [[d, −c], [−b, a]]. Por ejemplo, para A = [[3, 1], [5, 2]] la adjunta es [[2, −5], [−1, 3]], y su traspuesta [[2, −1], [−5, 3]] es justo la inversa, porque el determinante vale 3 · 2 − 1 · 5 = 1.

Ejemplo: adjunta de una matriz 3x3

Sea A = [[2, 1, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 0]]. Calculamos los nueve adjuntos:

A₁₁ = +|3 2; 0 0| = 3 · 0 − 2 · 0 = 0. A₁₂ = −|1 2; 1 0| = −(0 − 2) = 2. A₁₃ = +|1 3; 1 0| = 0 − 3 = −3.
A₂₁ = −|1 1; 0 0| = 0. A₂₂ = +|2 1; 1 0| = 0 − 1 = −1. A₂₃ = −|2 1; 1 0| = −(0 − 1) = 1.
A₃₁ = +|1 1; 3 2| = 2 − 3 = −1. A₃₂ = −|2 1; 1 2| = −(4 − 1) = −3. A₃₃ = +|2 1; 1 3| = 6 − 1 = 5.

La matriz adjunta es Adj(A) = [[0, 2, −3], [0, −1, 1], [−1, −3, 5]]. Para comprobarla, desarrollamos el determinante por la primera fila: |A| = 2 · 0 + 1 · 2 + 1 · (−3) = −1, que coincide con el determinante calculado por Sarrus. Este truco de comprobación lo aplica también la calculadora.

Adjunta, traspuesta e inversa

La fórmula de la matriz inversa por adjuntos es A⁻¹ = (1 / |A|) · (Adj A)ᵗ. Hay que trasponer la adjunta, no basta con dividirla entre el determinante. En el ejemplo anterior, (Adj A)ᵗ = [[0, 0, −1], [2, −1, −3], [−3, 1, 5]] y como |A| = −1, la inversa es [[0, 0, 1], [−2, 1, 3], [3, −1, −5]]. Atención a la terminología: en textos en inglés «adjugate» o «adjoint» es directamente la traspuesta de la matriz de cofactores, mientras que en España adjunta suele ser la matriz de adjuntos sin trasponer. La calculadora muestra ambas.

Adjunta de una matriz 4x4

En una 4x4 cada menor es un determinante 3x3, así que hay que calcular 16 determinantes de orden 3. Es un trabajo largo y fácil de equivocar a mano, pero el método es el mismo: tachar fila y columna, calcular el determinante por Sarrus y aplicar el signo del tablero. La calculadora muestra la submatriz de cada menor y el desarrollo de Sarrus para que puedas seguir el procedimiento elemento a elemento.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el número máximo de filas linealmente independientes, que siempre coincide con el número máximo de columnas linealmente independientes. Hay dos formas habituales de calcularlo:

Método de Gauss: se escalona la matriz con operaciones elementales por filas (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumarle a una fila un múltiplo de otra). El rango es el número de filas que no quedan completamente a cero. Es el método que usa la calculadora.
Método de los menores: el rango es el orden del mayor menor (determinante de una submatriz cuadrada) distinto de cero. Es útil cuando la matriz depende de un parámetro, porque permite estudiar para qué valores se anula el determinante.

Ejemplo de rango por Gauss

Sea A = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]]. Hacemos F₂ → F₂ − 2F₁ y obtenemos [0, 0, 0]; hacemos F₃ → F₃ − F₁ y obtenemos [0, −2, −2]. Tras intercambiar las filas 2 y 3, la matriz escalonada tiene dos filas no nulas, así que rg(A) = 2. Era de esperar, porque la segunda fila es el doble de la primera.

El rango es clave en el teorema de Rouché-Frobenius: un sistema de ecuaciones es compatible si el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la matriz ampliada, y es determinado si además ese rango coincide con el número de incógnitas.

Para terminar un ejercicio de inversa usa la calculadora de matriz inversa, y si te piden un producto como A · Adj(A)ᵗ, la calculadora de multiplicación de matrices te deja comprobar que da |A| · I.