Calculadora de operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones combinadas

Una operación combinada es una expresión en la que aparecen varias operaciones distintas: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces, a menudo con paréntesis. Para que todos lleguemos al mismo resultado existe un orden fijo, la jerarquía de las operaciones:

1. Paréntesis, corchetes y llaves, de dentro hacia fuera: primero ( ), luego [ ] y por último { }.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, en el orden en que aparecen.
4. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

En otros países se resume con siglas como PEMDAS o BODMAS, pero la idea es la misma. El detalle que más fallos provoca es el tercer punto: la multiplicación no va antes que la división, ni la suma antes que la resta. Las dos operaciones de cada pareja tienen el mismo nivel y se hacen según aparecen al leer de izquierda a derecha.

Ejemplo 1: sin paréntesis

Resolvemos 3 + 4 × 2 − 6 : 3.

1. No hay paréntesis ni potencias, así que empezamos por las multiplicaciones y divisiones: 4 × 2 = 8 y 6 : 3 = 2. Queda 3 + 8 − 2.
2. Sumas y restas de izquierda a derecha: 3 + 8 = 11 y 11 − 2 = 9.

Si hubiéramos operado en el orden de lectura, 3 + 4 = 7, 7 × 2 = 14, 14 − 6 = 8 y 8 : 3, el resultado sería incorrecto. Las calculadoras sencillas de bolsillo cometen precisamente este error, porque calculan cada operación en cuanto pulsas la tecla.

Ejemplo 2: con paréntesis, corchetes y potencias

Resolvemos [15 − (2 + 3)²] : 5 + 4 × (6 − 8), que es el ejemplo que viene cargado en la calculadora.

1. Paréntesis interiores: 2 + 3 = 5 y 6 − 8 = −2. Queda [15 − 5²] : 5 + 4 × (−2).
2. Dentro del corchete, primero la potencia: 5² = 25. Queda [15 − 25] : 5 + 4 × (−2).
3. Terminamos el corchete: 15 − 25 = −10. Queda −10 : 5 + 4 × (−2).
4. Divisiones y multiplicaciones: −10 : 5 = −2 y 4 × (−2) = −8. Queda −2 + (−8).
5. Suma final: −10.

Ejemplo 3: multiplicaciones y divisiones seguidas

En 12 : 3 × 2 hay una división y una multiplicación del mismo nivel. Se hacen de izquierda a derecha: 12 : 3 = 4 y 4 × 2 = 8. Si multiplicáramos primero obtendríamos 12 : 6 = 2, que es un error típico.

Signos y potencias de números negativos

Hay que distinguir entre −3² y (−3)². Sin paréntesis, la potencia afecta solo al 3 y el signo menos se aplica después: −3² = −9. Con paréntesis, se eleva el número negativo completo: (−3)² = 9. Recuerda también la regla de los signos al multiplicar y dividir: más por más da más, menos por menos da más, y signos distintos dan menos. Un número negativo elevado a un exponente par da positivo y a un exponente impar da negativo.

Operaciones combinadas con fracciones y decimales

La jerarquía no cambia cuando aparecen fracciones: en 1/2 + 2/3 × 3/4 se hace primero el producto, 2/3 × 3/4 = 1/2, y después la suma, 1/2 + 1/2 = 1. La calculadora trabaja siempre con fracciones exactas, así que no arrastra errores de redondeo, y te enseña el resultado como fracción simplificada y como decimal. Si solo necesitas operar dos fracciones con todos los detalles (mínimo común múltiplo, simplificación, números mixtos), usa la calculadora de fracciones.

Consejos para no equivocarte

• Copia la operación completa en cada paso y resuelve un solo nivel cada vez.
• Subraya las multiplicaciones y divisiones antes de empezar: así verás qué bloques se resuelven primero.
• Escribe los números negativos entre paréntesis cuando vayan detrás de un signo: 4 × (−2), nunca 4 × −2.
• Cuando quites un paréntesis precedido de un signo menos, cambia el signo de todo lo que hay dentro.
• Comprueba el resultado con otra estrategia o con esta herramienta.

Para practicar divisiones largas tienes la calculadora de divisiones paso a paso, y para calcular aumentos, descuentos o variaciones, la calculadora de porcentajes.

Cómo quitar paréntesis precedidos de un signo

A veces es más cómodo quitar un paréntesis antes de operar lo de dentro. Si delante hay un signo +, se quita sin más: 8 + (3 − 5) = 8 + 3 − 5. Si delante hay un signo −, se cambian todos los signos de dentro: 8 − (3 − 5) = 8 − 3 + 5 = 10. Si delante hay un número, se aplica la propiedad distributiva: 4 · (3 + 2) = 4 · 3 + 4 · 2 = 20. Las tres formas dan el mismo resultado que resolver primero el paréntesis, y la calculadora te sirve para comprobarlo.

Operaciones combinadas con números enteros

En 1.º y 2.º de ESO las operaciones combinadas suelen llevar números negativos, corchetes y llaves. Por ejemplo, {2 + [3 × (4 − 1) − 5]} × 2: el paréntesis interior da 3, luego 3 × 3 = 9, el corchete queda 9 − 5 = 4, la llave 2 + 4 = 6, y el resultado final es 6 × 2 = 12. La regla de los signos se aplica en cada multiplicación y división: (−3) × (−4) = 12, mientras que (−12) : 4 = −3. Si te pierdes, copia la operación en la calculadora y compara cada paso con el tuyo para localizar exactamente dónde está el error.