Calculadora de matriz inversa

Inversa, determinante y adjunta con fracciones exactas

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Determinante |A|:–

Preguntas frecuentes

¿Cuándo tiene inversa una matriz? ▼

Solo las matrices cuadradas con determinante distinto de cero tienen inversa. Si el determinante es 0 la matriz se llama singular y no se puede invertir.

¿Cuál es la fórmula de la matriz inversa? ▼

A⁻¹ = (1 / |A|) · Adj(A)ᵗ, es decir, la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida entre el determinante. Para una matriz 2x2 [[a, b], [c, d]] queda A⁻¹ = 1/(ad − bc) · [[d, −b], [−c, a]].

¿Qué es la matriz adjunta? ▼

Es la matriz formada por los adjuntos de cada elemento. El adjunto del elemento aᵢⱼ es (−1)^(i+j) multiplicado por el determinante que queda al eliminar la fila i y la columna j. Algunos libros llaman matriz adjunta directamente a su traspuesta.

¿Qué método es mejor, Gauss-Jordan o adjuntos? ▼

Para matrices 2x2 y 3x3 los dos son cómodos. A partir de 4x4 Gauss-Jordan es mucho más rápido, porque el método de adjuntos obliga a calcular muchos determinantes. Esta calculadora usa Gauss-Jordan para la inversa y muestra también la adjunta.

Cómo calcular la matriz inversa

La inversa de una matriz cuadrada A es la matriz A⁻¹ que cumple A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I, donde I es la matriz identidad. Solo existe si el determinante de A no es cero.

Método de Gauss-Jordan

Escribe la matriz ampliada (A | I): la matriz A y a su derecha la identidad.
Con operaciones elementales por filas (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumar a una fila un múltiplo de otra), convierte la parte izquierda en la identidad.
Lo que queda a la derecha es A⁻¹.

Método de los adjuntos

A⁻¹ = (1 / |A|) · (Adj A)ᵗ. Calcula el determinante, la matriz de adjuntos (cada elemento sustituido por su adjunto con el signo (−1)^i+j), trasponla y divide entre el determinante.

Ejemplo 2x2

Para A = [[4, 7], [2, 6]] el determinante es 4 · 6 − 7 · 2 = 10. La inversa es 1/10 · [[6, −7], [−2, 4]] = [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]]. Comprobación: la primera fila de A por la primera columna de A⁻¹ da 4 · 3/5 + 7 · (−1/5) = 12/5 − 7/5 = 1.

Propiedades útiles

(A⁻¹)⁻¹ = A y (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹ (el orden se invierte).
(Aᵗ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵗ y |A⁻¹| = 1 / |A|.
Un sistema de ecuaciones A · X = B con |A| ≠ 0 tiene solución única X = A⁻¹ · B.

Para multiplicar matrices recuerda que el número de columnas de la primera debe coincidir con el de filas de la segunda. Si necesitas resolver una sola ecuación cuadrática, usa la calculadora de ecuaciones de segundo grado.