Calculadora de multiplicación de matrices

Producto A × B con cada elemento calculado fila por columna

Filas de A

Columnas de A

Filas de B

Columnas de B

Operación

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Dimensiones:–

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se pueden multiplicar dos matrices? ▼

Solo cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Si A es m×n y B es n×p, el producto A · B existe y es una matriz m×p. Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido.

¿Cómo se multiplican matrices? ▼

Cada elemento cᵢⱼ del resultado se obtiene multiplicando la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda, elemento a elemento, y sumando los productos: cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + … + aᵢₙbₙⱼ.

¿Es lo mismo A · B que B · A? ▼

En general no. El producto de matrices no es conmutativo: B · A puede dar otra matriz, tener otro tamaño o directamente no existir. Por eso la calculadora permite elegir el orden.

¿Se puede multiplicar una matriz 2x3 por una 3x2? ▼

Sí. Las dimensiones interiores coinciden (3 y 3), así que el resultado es una matriz 2x2. En el orden contrario, una 3x2 por una 2x3, también se puede, pero el resultado es una matriz 3x3.

¿Cómo se multiplica una matriz por un número? ▼

Se multiplica cada elemento de la matriz por ese número. Es una operación distinta del producto de matrices y siempre se puede hacer, sea cual sea el tamaño de la matriz.

Cómo se multiplican matrices

Para multiplicar dos matrices A y B se cumple una regla muy sencilla de recordar: cada elemento del resultado es una fila de A por una columna de B. Si A tiene tamaño m×n y B tiene tamaño n×p, el producto C = A · B es una matriz m×p y cada elemento se calcula así:

cᵢⱼ = aᵢ₁ · b₁ⱼ + aᵢ₂ · b₂ⱼ + … + aᵢₙ · bₙⱼ

Es decir, tomas la fila i de la primera matriz, la columna j de la segunda, multiplicas el primer elemento por el primero, el segundo por el segundo, y así sucesivamente, y al final sumas todos esos productos. A esta operación se le llama producto escalar o producto punto de la fila por la columna.

Condición de las dimensiones

Antes de empezar hay que comprobar que la multiplicación es posible. El número de columnas de la primera matriz tiene que ser igual al número de filas de la segunda. Un truco muy útil es escribir los tamaños uno al lado del otro: (2×3) · (3×4). Si los dos números del centro coinciden, el producto existe, y los números de los extremos te dan el tamaño del resultado, en este caso 2×4.

Tamaño de A	Tamaño de B	¿Se puede A · B?	Tamaño del resultado
2×2	2×2	Sí	2×2
2×3	3×2	Sí	2×2
3×2	2×3	Sí	3×3
3×3	3×1	Sí	3×1 (un vector columna)
2×3	2×3	No	No existe

Ejemplo resuelto: matriz 2x3 por matriz 3x2

Sean A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] y B = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]. A es 2×3 y B es 3×2, así que el producto existe y será 2×2.

c₁₁ = fila 1 de A por columna 1 de B = 1 · 7 + 2 · 9 + 3 · 11 = 7 + 18 + 33 = 58.
c₁₂ = fila 1 por columna 2 = 1 · 8 + 2 · 10 + 3 · 12 = 8 + 20 + 36 = 64.
c₂₁ = fila 2 por columna 1 = 4 · 7 + 5 · 9 + 6 · 11 = 28 + 45 + 66 = 139.
c₂₂ = fila 2 por columna 2 = 4 · 8 + 5 · 10 + 6 · 12 = 32 + 50 + 72 = 154.

El resultado es A · B = [[58, 64], [139, 154]]. Si haces B · A obtienes una matriz 3×3 completamente distinta, lo que demuestra que el orden importa.

Ejemplo de multiplicación de matrices 2x2

Con A = [[2, −1], [0, 3]] y B = [[1, 4], [5, −2]]: c₁₁ = 2 · 1 + (−1) · 5 = −3; c₁₂ = 2 · 4 + (−1) · (−2) = 10; c₂₁ = 0 · 1 + 3 · 5 = 15; c₂₂ = 0 · 4 + 3 · (−2) = −6. Por tanto A · B = [[−3, 10], [15, −6]]. Cuidado con los signos: es donde se cometen la mayoría de los errores en los exámenes.

Propiedades del producto de matrices

No es conmutativo: en general A · B ≠ B · A. Puede que uno de los dos productos ni siquiera exista.
Es asociativo: (A · B) · C = A · (B · C), siempre que los tamaños lo permitan.
Es distributivo: A · (B + C) = A · B + A · C.
Matriz identidad: A · I = I · A = A, donde I es la matriz con unos en la diagonal y ceros en el resto.
Traspuesta de un producto: (A · B)ᵗ = Bᵗ · Aᵗ, con el orden cambiado.
Determinante: para matrices cuadradas, |A · B| = |A| · |B|.
El producto de dos matrices no nulas puede dar la matriz nula, algo que no ocurre con los números.

Errores frecuentes al multiplicar matrices

El error más común es multiplicar elemento a elemento, como si fuera una suma de matrices. Eso no es el producto de matrices: el producto siempre combina una fila entera con una columna entera. Otro error habitual es olvidar comprobar las dimensiones y forzar una multiplicación imposible. También conviene ir con cuidado al cambiar el orden: si en un ejercicio te piden A · B, calcular B · A da otro resultado. Por último, al trabajar con fracciones es mejor no pasar a decimales hasta el final, porque los redondeos se acumulan; por eso esta calculadora opera con fracciones exactas y solo convierte a decimal si tú lo pides.

¿Para qué sirve multiplicar matrices?

El producto de matrices aparece en la resolución de sistemas de ecuaciones (un sistema se escribe como A · X = B), en las transformaciones geométricas de los gráficos por ordenador, en las cadenas de Markov, en estadística y en las redes neuronales. En Bachillerato se usa sobre todo para calcular potencias de matrices, comprobar que una matriz es la inversa de otra (A · A⁻¹ debe dar la identidad) y resolver ecuaciones matriciales del tipo A · X = B, donde X = A⁻¹ · B.

Si necesitas la inversa o el determinante usa la calculadora de matriz inversa, y para la matriz de adjuntos y el rango, la calculadora de matriz adjunta y rango. Para repasar las operaciones con fracciones que aparecen en muchos ejercicios, tienes la calculadora de fracciones.