Calculadora de seno, coseno y tangente

Seno, coseno y tangente: definición y valores exactos

En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo α, el seno es el cateto opuesto entre la hipotenusa, el coseno es el cateto contiguo entre la hipotenusa y la tangente es el cateto opuesto entre el contiguo, que es lo mismo que sen α / cos α. Para ángulos de cualquier tamaño se usa la circunferencia goniométrica, de radio 1: si el ángulo α corta a la circunferencia en el punto (x, y), entonces cos α = x y sen α = y.

Tabla de razones trigonométricas de los ángulos más usados

Un truco para memorizar los senos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° es escribir √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 y √4/2, que dan 0, 1/2, √2/2, √3/2 y 1. Los cosenos son la misma lista en orden inverso.

Coseno de 90, coseno de 0 y cos de pi

Son tres de las búsquedas más frecuentes y se entienden mirando la circunferencia unidad. El ángulo de 0° está en el punto (1, 0), así que cos 0 = 1 y sen 0 = 0. El ángulo de 90° está arriba del todo, en (0, 1), así que cos 90° = 0 y sen 90° = 1. El ángulo de 180°, que son π radianes, está en (−1, 0), así que cos π = −1 y sen π = 0. En 270° (3π/2) el punto es (0, −1): coseno 0 y seno −1.

Ojo con las calculadoras: si están en modo radianes (RAD) y escribes cos 90, te darán el coseno de 90 radianes, que es aproximadamente −0,448. Para obtener 0 hay que ponerlas en grados (DEG). Lo mismo pasa al revés: cos(π) solo da −1 en radianes.

Signo según el cuadrante y ángulo de referencia

Para un ángulo mayor de 90° se busca su ángulo de referencia, el ángulo agudo que forma con el eje X, y se aplica el signo del cuadrante:

• Primer cuadrante (0° a 90°): seno, coseno y tangente positivos.
• Segundo cuadrante (90° a 180°): referencia 180° − α; solo el seno es positivo. Ejemplo: cos 120° = −cos 60° = −1/2.
• Tercer cuadrante (180° a 270°): referencia α − 180°; solo la tangente es positiva. Ejemplo: sen 210° = −sen 30° = −1/2.
• Cuarto cuadrante (270° a 360°): referencia 360° − α; solo el coseno es positivo. Ejemplo: cos 315° = cos 45° = √2/2.

Los ángulos negativos o mayores de 360° se reducen primero sumando o restando vueltas completas: 405° equivale a 45° y −30° equivale a 330°.

Grados y radianes

Una vuelta completa son 360° o 2π radianes, así que para pasar de grados a radianes se multiplica por π/180 y para pasar de radianes a grados se multiplica por 180/π. Un radián son unos 57,2958°. Si trabajas con ángulos en grados, minutos y segundos, como 35° 15' 20", conviértelos antes a grados decimales con la calculadora de grados, minutos y segundos.

Relaciones fundamentales

• sen² α + cos² α = 1 (teorema de Pitágoras en la circunferencia unidad).
• tg α = sen α / cos α y 1 + tg² α = 1 / cos² α.
• cos α = sen(90° − α): el coseno de un ángulo es el seno de su complementario. Por eso cos 30° = sen 60°.
• cosec α = 1/sen α, sec α = 1/cos α, cotg α = 1/tg α.

Las razones inversas (arcoseno, arcocoseno y arcotangente) hacen el camino contrario: dado un valor, devuelven el ángulo. arcsen y arctg dan ángulos entre −90° y 90°, y arccos entre 0° y 180°. Una aplicación muy práctica de la tangente es el cálculo de pendientes: la inclinación de una rampa en grados es el arcotangente de la pendiente en tanto por uno, como verás en la calculadora de pendiente.

Ejemplos prácticos con seno y coseno

Las razones trigonométricas sirven para calcular distancias que no se pueden medir directamente. Si una escalera de 5 metros apoyada en una pared forma un ángulo de 60° con el suelo, la altura a la que llega es 5 · sen 60° = 5 · √3/2 ≈ 4,33 m, y la distancia del pie de la escalera a la pared es 5 · cos 60° = 5 · 1/2 = 2,5 m. Del mismo modo, si desde 20 metros de distancia ves la parte alta de un edificio con un ángulo de elevación de 35°, su altura sobre tus ojos es 20 · tg 35° ≈ 14 m.

En física se descomponen las fuerzas y las velocidades con seno y coseno: una fuerza de 100 N que forma 30° con la horizontal tiene una componente horizontal de 100 · cos 30° ≈ 86,6 N y una vertical de 100 · sen 30° = 50 N. Y en un triángulo cualquiera se aplican el teorema del seno (a / sen A = b / sen B = c / sen C) y el teorema del coseno (a² = b² + c² − 2bc · cos A), que generaliza a Pitágoras.

Cómo comprobar el resultado sin calculadora

Recuerda que el seno y el coseno siempre están entre −1 y 1, que sen 30° = cos 60° = 0,5 y que sen 45° = cos 45° ≈ 0,707. Si el ángulo está entre 0° y 45°, el coseno es mayor que el seno; entre 45° y 90°, el seno es mayor. Con estas referencias puedes detectar al momento un resultado imposible, por ejemplo un coseno de 1,3 o un seno negativo para un ángulo del segundo cuadrante.